Математика *

Давайте ненадолго перенесёмся в школьные годы и вспомним уроки математики и физики. Помните, чему равно число π? Естественно помните, мы же на Хабре! А чему равно π в квадрате? Это тоже странный вопрос. Конечно, 9,87. А чему равно ускорение свободного падения g помните? Ещё бы, это число так тщательно вдолбили в нашу память, что захочешь — не забудешь: 9,81 м/c². Конечно, оно может варьироваться, но для решения базовых школьных задачек мы обычно использовали именно это значение.

А теперь, внимание, следующий вопрос: а с какого это перепугу π² примерно равно g?

Всем привет. Впереди длинные выходные, а погода (в средней полосе России) не шепчет. Посему хочу предложить вам развлекалочку на стыке математики и программирования, а также возможность немного улучшить свое финансовое положение 😊.

История эта началась лет 10 назад, когда моя дочь София Валерьевна принесла задачку (автор ее - Дмитрий Юрьевич Кузнецов аka ДЮК)  с олимпиады для 7-го класса.

«Незнайка записывает 9 разрядов 10-значного десятичного числа и пропускает один по своему выбору. Пропущенный разряд он предлагает записать Винтику, а затем показывает полученное 10‑значное число Шпунтику. Как могут Винтик и Шпунтик договориться, чтобы Шпунтик угадал, какой именно разряд записал Винтик? »

Как красиво в фильмах увеличивают изображения с дешёвой видеокамеры, да так, что чётко видно лицо в отражении зрачка человека, находящегося за километр. Я тоже так хочу. А что мы имеем по факту? На какой максимальный результат можно рассчитывать хотя бы теоретически? А оказывается можно сделать чуть лучше, чем размазню...

TL;DR Очень подробный разбор алгоритмов решения задачи о кратчайшем пути от классики до двунаправленного А* и ALT с кодом и примерами на OSM

Люди пытались найти более быстрые способы передвижения на протяжении всей своей истории. Появление качественной дорожной системы в римской империи в своё время привело к её расцвету, но со временем выяснилось, что и в продуманных дорожных системах бывают забавные изъяны, как например в небезызвестной задаче о кёнигсбергских мостах, считающейся отправной точкой возникновения теории графов. Неудивительно и то, что с развитием вычислительной техники логистические задачи стали одними из первых, над которыми трудились первопроходцы компьютерных наук. Задача о кратчайшем пути -- одна из них, звучит достаточно просто: есть несколько городов и дорог, соединяющих пару городов между собой, мы хотим попасть из города А в город Б пройдя при этом минимальное расстояние. Первый системный подход к этой задаче был описан в работе Эгервари в 1931г., спустя 25 лет Эдсгер Дейкстра придумал алгоритм, который сейчас является частью любого уважающего себя базового курса алгоритмов на графах. На нём же, будем честны, заканчиваются знания о кратчайших путях у большинства профессиональных разработчиков, ибо сценариев, где реализации с википедии/stackoverflow будет не хватать, крайне мало.

Может показаться, что на самом деле просто не было существенного прогресса с 60х годов, так как Дейкстра предоставил почти асимптотически оптимальный алгоритм решения задачи. На самом деле нет, прогресс был и придумали много чего интересного, хоть и действительно с того времени фокус сместился на другие задачи. Приглашаю под кат если интересно узнать что такого напридумывали, что используется в современных логистических системах, почему меня огорчает отсутствие учёта флага единства в HOMM3 при расчёте пути, ну и наконец, что за мужики на картинке выше рядом с Дейкстрой?

Я люблю проводить численные эксперименты. Процессор должен думать, а не простаивать. Напомню, что нетривиальные нули Зета функции Римана, расположенные симметрично относительно оси X, имеют вещественную часть равную -1/2 (что не доказано, может быть, у вас получится?), а мнимая часть у первых нулей равна (+/-, так как они расположены симметрично): 14.13, 21.02, 25.01, 30.42, 32.93...

Поиграем с этим.

В этом посте мы разработаем алгоритм, позволяющий вычислять пересечение выпуклых полигонов. Так же на ряду с проверкой точки на принадлежность полигону мы рассмотрим метод пересечения выровненных по осям прямоугольников и функцию пересечения отрезков.

Здесь будет рассказано о главных отличиях самого старого и базового алгоритма снижения размерности - PCA от его популярных современных коллег - UMAP и t-SNE. Предполагается, что читатель уже предварительно что-то слышал про эти алгоритмы, поэтому подробного объяснения каждого из них в отдельности приведено не будет. Вместо этого будут объяснены самые важные для практики свойства этих алгоритмов и то, на какие связанные с ними подводные камни можно налететь при неосторожности. Все особенности будут описаны на примерах, с минимумом теории; те пытливые умы, что почувствуют в процессе чтения жажду математической строгости, смогут удовлетворить её в литературе, ссылки на которую будут даны по ходу дела и в конце статьи.

Всем привет! На связи команда ad-hoc аналитики X5 Tech. В этой статье мы – Лев Баскин, Андрей Полушкин и Александр Сахнов – расскажем, как без регистрации и смс спланировать смены для сотрудников офлайн-магазинов. Казалось бы, задача достаточно тривиальная: берём симплекс метод или другой метод условной оптимизации и на основе ожидаемой загрузки получаем расписание сотрудников. Однако, не всё так просто. 

Первое препятствие на пути – масштабы. У Х5 порядка 25 000 магазинов от Калининграда до Владивостока и более 378 000 работников, обеспечивающих непрерывное функционирование бизнеса. У каждого магазина своя специфика и различающиеся бизнес-процессы. Во-вторых, даже зная, сколько часов занимает тот или иной процесс и как он локализован во времени, из-за внешних факторов нельзя так просто взять и поместить его в расписание. Например, обстановка на дорогах может повлиять на время поставки и, как следствие, сдвинуть ряд процессов в магазине. Достаточно предисловия, перейдём к сути!

В этой части статьи основой демонстрируется авторский функционально-математический инструментарий для сравнительного анализа определённых степенных последовательностей, включая последовательность простых чисел. Особое внимание уделяется выявлению рекуррентно значимого формульного приближения для определения последующих значений в последовательности простых чисел.

Наш мир удивителен, простые на первый взгляд вещи оказываются очень сложными внутри. Так что же скрывает в себе обычная линия? Для ответа на вопрос, прошу под кат.

На примере 32-битных целых чисел рассматривается масштабируемый алгоритм деления, использующий числа с двукратно меньшей (16 бит) разрядностью. Для иллюстрации работоспособности алгоритма приведен код тестового приложения на языке С++.

Являются ли случайность и хаос фундаментальными свойствами нашего мира, или за ними всегда скрывается некий порядок, а нам просто не хватает знаний и точности измерений, чтобы его постичь? Изучением этого вопроса занимаются несколько тесно связанных между собой междисциплинарных наук: синергетика, неравновесная термодинамика, теория хаоса, теория катастроф, фрактальная геометрия, теория систем и кибернетика. На первый взгляд эти дисциплины очень абстрактны и совершенно непонятны без изучения их сложного математического аппарата. Но в действительности они гораздо ближе к жизни, чем квантовая механика или теория относительности, поскольку имеют дело не со «сферическими конями в вакууме», а с реальными процессами.

О явлениях хаоса и самоорганизации я рекомендую прочитать книгу Джеймса Глейка «Хаос. Создание новой науки» (1987). Если же у вас нет ни времени, ни желания изучать всю историю науки о хаосе, вы узнаете всё самое важное из данной статьи. Здесь я разъясняю множество специфических терминов, которые приведут в ужас даже хорошо образованного человека: эмерджентность, синергия, флуктуации, диссипативные структуры, динамический хаос, точка бифуркации, аттракторы, фракталы и т.д. Также мы выясним, не противоречит ли самоорганизация второму началу термодинамики и действительно ли случайность, необратимость и неустойчивость являются источниками всякого развития.

Одна из самых забавных историй во всей научной фантастике — книжка «Автостопом по Галактике» Дугласа Адамса, в одном из эпизодов которой суперкомпьютеру поручили найти «ответ». Созданный якобы для того, чтобы дать ответ на «главный вопрос о жизни, Вселенной и всём остальном», компьютер тратит 7,5 миллиона лет на вычисление ответа и наконец выдаёт его: 42. Только вот когда ответ, наконец, раскрывается, никто не может вспомнить, в чём же, собственно, заключался «главный вопрос». Это ещё один пример того, что не стоит быть настолько одержимым идеей добраться до цели, чтобы изначально потерять из виду весь смысл путешествия – тогда её достижение уже не будет иметь значения,

К счастью для нас, существует ряд возможных вопросов-кандидатов, которые мы можем использовать задним числом, поскольку они действительно могут быть тем самым окончательным вопросом – ведь нам известно, что ответ на эти вопросы действительно «42». Мог ли хоть один из этих вариантов быть тем, о чём спрашивали суперкомпьютер, когда речь шла о раскрытии ответа на «главный вопрос о жизни, Вселенной и всём остальном»? Хотя никто не может быть уверен, даже в вымышленном мире Дугласа Адамса, вот пять возможных вопросов, которые относятся к числу самых увлекательных. Ответом на каждый из них действительно будет «42», и, возможно, один из них покажется вам по-настоящему захватывающим.

С.Б. Пшеничников

В статье изложен новый математический аппарат вербальных вычислений в NLP (обработке естественного языка). Слова погружаются не в действительное векторное пространство, а в алгебру предельно разреженных матричных единиц. Вычисления становятся доказательными и прозрачными. На примере показаны развилки в вычислениях, которые остаются незамеченными при использовании традиционных подходов,   а результат при этом может быть неожиданным.

Использование IT в обработке естественного языка (Natural Language Processing, NLP)  требует стандартизации текстов, например, токенизации или лемматизации. После этого можно пробовать применять математику, поскольку она является высшей формой стандартизации и превращает исследуемые объекты в идеальные, например, таблицы данных в матрицы элементов. Только на языке матриц можно искать общие закономерности данных (чисел и текстов).

Если текст превращается в числа, то в NLP это сначала натуральные числа для нумерации слов, которые затем погружаются в действительное векторное пространство.

Возможно, следует не торопиться это делать, а придумать новый вид чисел более пригодный для NLP, чем числа для исследования физических явлений. Такими являются матричные гипербинарные числа. Гипербинарные числа - один из видов гиперкомплексных чисел.

Для гипербинарных чисел существует своя арифметика и если к ней привыкнуть, то она покажется привычнее и проще пифагорейской арифметики.

В системах поддержки принятия решений (DSS) текстами являются оценочные суждения и пронумерованная шкала вербальных оценок. Далее (как и в NLP) номера превращаются в векторы действительных чисел и используются как наборы коэффициентов средних арифметических взвешенных.

Простое .NET решение для четких фото: избавьтесь от дымки или тумана на изображениях всего за несколько шагов!

В этой статье мы попытаемся рассказать про трансформерную архитектуру VIT и предысторию его формирования. Сегодня не совсем понятно, почему этот "формат" нейронок настолько эффективен. Некоторые говорят механизм внимания, но некоторые практики делают больше ставок в области Computer Vision на MetaFormer. https://github.com/sail-sg/poolformer

Нейросети остаются для нас “теневым” процессом, подобным черному ящику. И изучение Deep Learning уже напоминает больше не математику, а биологию, где мы следим за поведением нашего детища.

Началось всё с того, что не нашел я библиотеки для JavaScript, которая вычисляет собственные векторы для комплекснозначной матрицы 4х4. Пришлось писать самому.

И в ходе реализации встала передо мной этакая бодренькая микрозадачка – из набора чисел «1, 2, 3, 4» вычеркнули два числа «x, y» (неодинаковых – кто-то придет завтра и задаст эти два числа, а мы сегодня должны приготовиться), требуется объяснить компьютеру, как определить оставшиеся, невычеркнутые числа. И я завис – все идеи, которые приходили мне в голову, казались «неспортивными и чрезмерными» – ну не пузырьковой же сортировкой перебирать четыре числа, должно же быть что-то элегантное. Например, если вычеркнуто не два, а три числа «x, y, z» из четырех «x, y, z, t» (которые «1, 2, 3, 4»), то оставшееся число «t» находится так: t = 10 – (x+y+z). Потому что t+x+y+z = 10 (всегда: 10=1+2+3+4). Вполне элегантно для одного оставшегося числа. А для двух чисел – как быть с элегантностью?!

Решение я нашел – озарило по дороге домой – прям шарахнуло с неба по башке; я даже не поверил сначала, что это оно – показалось мороком усталого мозга. И оно работает не только для четырех чисел – можно решить задачу «из n последовательных чисел вычеркнуто k различных чисел, требуется вернуть остаток» (что осталось на трубе).

Я предложил эту задачку с «n, k»-условием знакомым программистам в качестве застольного анекдота, для развлечения (сам я не программист, честно – мне просто сильно занадобилось объяснить Яваскрипту, как вычислять собственные векторы комплекснозначной матрицы 4х4). Сначала я выслушал их предложения (предлагали «упорядочивание k чисел с последующим перебором n чисел» и «воспользоваться встроенной функцией вычитания множеств»). Потом я рассказал свое решение. Они сказали: «Ну круто, да».

Не думаю, что я совершил великое открытие – скорее всего, этот подход где-нибудь преподается студентам и давно вшит во все языки программирования – но заинтересованные люди, которые эту мелочь не знали (например, я не знал, мои друзья не знали), мне кажется, получат удовольствие – когда ознакомятся.

Метод Монте-Карло — это мощный инструмент стохастического моделирования, который используется в самых разнообразных областях науки и инженерии. В финансах, этот метод часто применяется для анализа и прогнозирования временных рядов, таких как курс валют или акций. Использование Монте-Карло позволяет оценить не только ожидаемые значения, но и распределение возможных исходов, что крайне важно для управления рисками и принятия обоснованных инвестиционных решений.

Принцип метода заключается в выполнении большого количества стохастических экспериментов (симуляций), основанных на случайных выборках из вероятностных распределений входных параметров. В контексте прогнозирования курса валют, это позволяет моделировать различные экономические сценарии и оценивать потенциальные колебания валютных пар, используя исторические данные.

Ключевой аспект использования Монте-Карло в финансах — это его способность учитывать и анализировать волатильность и дрейф курсов валют. Для повышения точности моделирования и реалистичности получаемых данных часто применяется ГАРЧ модель (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity). ГАРЧ помогает адекватно оценить и моделировать изменчивость волатильности, что является критичным при анализе финансовых временных рядов.

Идейно код выполнялся без готовых реализованных методов из различных либ.

Проект использует следующие библиотеки и инструменты:

Александр Спиваков, руководитель команды разработки C3D Converter, C3D Labs, описывает роль конвертера в качестве части C3D Toolkit, представляет сценарии использования C3D Converter — миграция и MultiCAD — в пользовательских приложениях, знакомит с доработками решения, сделанными в контексте этих задач, и планами развития конвертера.

Что собой представляет C3D Converter в составе C3D Toolkit и зачем он нужен? Глобально перед нами стоят две задачи.

Привет, Хабр! В прошлой статье я указал, что в A/B-тестах используются три основных типа метрик, а именно пользовательские конверсии, средние метрики пользователей и ratio-метрики. К последним обычно относят средний чек, CTR баннера, среднюю длину сессии и др. Такие метрики имеют ограничения при оценке стандартными статистическими критериями и общую особенность определения в контексте экспериментов.

В этой статье формализуем понятие ratio-метрики, подробнее и на примере посмотрим на их ограничения и разберем как инвалидировать результаты своих экспериментов, если эти ограничения игнорировать. Откроем для себя метод линеаризации ratio-метрик, разберем как и почему он работает, какая интерпретация стоит за его преобразованием, а также определим его преимущества в сравнении с предусредненным средним, бутстрапом и дельта-методом.