Комментарии 4
Легче жить, не значит проще. (с) Поэт
Хорошая работа. Но слог следут облегчать: чем более кратко, емко и просто рассмотрен (сложный) предмет - тем лучше. В отличие от многослованой и трудносочинённой математики второй половины XX века, математика XXI века, она такая.
– Сергей Петрович... К Вам. Второй день добиваются. Как прикажете?
– Проси.
– Чем могу быть полезен?
– Я написал повесть, которую бы хотел напечатать в вашей газете.
– Садитесь.
– Благодарю Вас.
– Признаться, я написал эту повесть не для авторской славы.
– А для чего же, интересно?
– Ну, по некоторым причинам материального порядка. Как бы... заработать хочется.
– Хорошо, оставьте, но Вам придется подождать.
– Долго?
– Не знаю. В Москве сплошные беллетристы, все пишут. Зайдите месяца через два, через три, и не очень спешите.
– Долгонько.Х/ф Мой ласковый и нежный зверь, по рассказу А.П Чехова "Драма на охоте" (1884 год)
Немного простого о "сложном"
Что до алебр, все они строятся под единому образцу: <A (носитель), O (операции), R (отношение(я))>, где R - пустое, если для решения задачи достаточно пары <A, O>.
Что до R (известного так же как "отношение" или "таблица"), то образец его прост - это набор "N-векторов" (известных так же как "кортежи"). Элементы "N-векторов" известны так же как "координаты", "компоненты", "аттрибуты". И уже даже вследствие отсутствия единой терминологии для первичных математических объектов, у авторов начинает цвести пышный "огород".
Лирическое отступление. Чем менее теория разработана и обобщена - тем обильней посыпана "терминами", "наструганными" под множество частных случаев. Сравнить, к примеру, теорию поля и теорию графов. Первая скромно сочетает понятие пространства с аппаратами векторных алгебр и дифференциальных операторов на них, в последней с полторы сотни терминов, только определяющих частные случаи комбинаций на графах. Какие из этих терминов положить в голову, зачем это делать, и как читать богато усыпанную ими литературу - хорошие вопросы для вдумчивого обсуждения в каждом конкретном случае.
Что до "алгебраического вектора" (даже Эн), то есть простая, даже не побоюсь этого слова очевидная связь между объектами "алгебраический вектор", "отношение", "функция", "отображение", "порядок", "пространство", "движение", "граф". "Функция" - это "абстракция": в природе "функций" нет, но их можно "отображать" вполне материальными предметами: "линией на бумаге" ("графически"), "таблицей" ("отношением"), "формулой" ("аналитически"), или арифмометром Феликс ("аппаратно"). Главное чтобы было установлено конкретное "соответствие": "входное значение" - "выходное значение", чем - не важно. В общем случае "значением" является "вектор" (то или иное его отображение, в том числе в предметах).
Рассмотрим конструкцию алгебраического вектора: он состоит из N "упорядоченных" "позиций" где "размещают" объекты (функции, числа, вектора ... ...). "Упорядоченность" можно задать "графически", "таблицей", "связанным списком" (например так делают в программировании), то есть пользуясь "отношением", как и в случае с "функцией". То есть "вектор" уже включает в себя "отношение порядка".
Теперь рассмотрим вполне себе физическое "движение". Движение представляют как "упорядоченную последовательность состояний", что наталкивает нас на способ задания его либо "отношением", либо "функцией", либо "вектором". Присмотревшись мы видим, что существует взаимное однозначное соответствие межу "образами" объекта, заданного перечисленными способами. Кстати, "точки георметрического пространства" - тоже можно отобразить и отношением, и функцией. К примеру, "заданное аналитически тело" (поверхность) в геометрии определяют как "множество точек, заданное функцией".
Наблюдение за механическим движением в физической среде, показывает, что некоторые предметы "членят" движение. Например, палка-рогулинка вида Y "расчленит" движение надвое, неважно на какой конец его подать. Назовём "концы" и "развилку" рогулинки "узлами", соединяющие их участки "ребрами", а полученный так объект "графом". Очевидно, что "графы" возникают там, где появляется движение, и отображают "пути" его распространения. Пары "узел-узел" просто отображаются отношением, то есть в отношение легко "упаковать" граф.
Собственно, это и есть первичные объекты, вокруг которых "крутится" вся математика, и "хорошая" алгебра отличается от "плохой" лишь умением её авторов кратко, емко и просто упаковать некоторое многообразие задач из практической деятельности человека.
Тоже касается и "кванторов". Туманное словечко, имеющее в русском языке хороший экивалент - "сокращение". Например "квантором" «для всех x» выражают некоторое свойство объекта (например, замкнутрсть операции), и каждому "квантору" соответствует конкретное отношение. Полезнее указать это отношение явно и донести мысль зачем оно введено, чем "туманить" рассуждения "кванторами", выглядящими пережитком отсутствия строгости математики XV-XVIII веков.
Дорогой MasterMentor! Спасибо за очередной комментарий. Уже много лет пытаюсь «облегчить слог», но, увы! – получаются лишь мелкие шажки в сторону облегчения. Кто бы подсказал, как это сделать!
Что касается Вашего «лирического отступления», то хотел бы вот что к нему добавить.
Алгебра кортежей – это своеобразный гибрид алгебраической системы и n-местных отношений. Может быть, поэтому этот гибрид трудно выразить несколькими словами. Он позволяет описывать и графы, и просто отношения, и логические формулы, и даже функции. О них скажу чуть подробнее (потом кое-что скажу и о кванторах).
Функция - это то же отношение (АК-объект), только к этому добавлены два условия:
1) атрибуты разделены на два класса: область отправления и область прибытия;
2) каждому кортежу элементов из области отправления соответствует не более одного кортежа элементов из области прибытия.
Если условие 2) не соблюдается, то это уже не функция, а соответствие. В математической логике использование функций не всегда правомерно. Например, в алгоритме унификации вместо квантора существования используют функции, хотя было бы более точным использовать соответствия.
Кванторы. От этого «туманного словечка» трудно избавиться. Оно прочно заняло место и в математической логике, и в теории доказательств, и в обоснованиях математики. Что касается предложенного Вами эквивалента «сокращение», то это не совсем точно. Если квантор с переменной x «навешивается» на логическую формулу, у которой переменная x свободная, то это, действительно, сокращение, которое в АК выражается с помощью операции элиминация атрибута. Но если в формуле переменная x отсутствует (или связана, что по сути то же самое), то получается добавление фиктивного атрибута, т.е. сокращения нет. Даже есть «расширение», но без изменения смысла.
Благодарю за развернутый ответ.
Вы работаете с т.н. "началами математики". Идея изложть элементы математики через ДП - весьма здрава, и я считаю, что вся математика должна явно строитья и преподаваться через ДП. Ибо ДП (как и конечные автоматы) есть выражение полноты конкретного множества (либо объекта). А все (каждый) математические объекты всегда определяются полными (иное - это уже не математика).
По терминологии - есть замечания и предложения: "область отправления и область прибытия, соответствие, элиминация, атрибут, фиктивный атрибут, компонент, домен ... ...", - многозначные и неточные термины. Многие из них пользуемы для классификации (выделения подмножеств) "атрибутов".
Классифицировать имеет смысл большие группы объектов, либо весьма немногие часто пользуемые и неизменные ("базовые") элементы теории.
То же касается "вопросов", "ответов", "знаний" - всё это маркированные графы. "Объяснить" - значит построить граф, ведущий от узла(ов) маркированного "причина(ы)" к узлу(ам) маркированному "следствие(я)" (и в обратную сторону). Конечными узлами такого графа является "аксиоматика" - т.е. набор узлов выбранных за "первичные". То есть в этой области математики и естествознания тоже есть задел для упрощений и уточнений.
В общем, здесь следует работать так, как поступил с геометрией Гильберт: теорию следует членить на отдельные "пласты" с немногой, ясной, хорошо продуманной и проработанной точной аксиоматикой, и связками между "пластами", тогда дело ждёт успех.
PS И немного вкусовщины. По мне так, и установившийся термин "соответствие" не очень удачен (хоть и общепринят). Термин "сопоставление" четче и яснее выражает положение дел. :)
Согласен с Вами: в основаниях и в преподавании математики надо больше обращать внимание на ДП и его свойства. Но многие из тех, от кого это хоть как-то зависит, категорически против этого. Та же коллизия с алгеброй множеств, которую, кстати, «удачно» обозвали «наивной теорией множеств». Как можно доверять системе с таким названием?
Что касается терминологии АК, тот тут не все так просто. Вообще-то менять термины, когда им уже более четверти века, штука безнадежная. Разве что найдется субъект, который поменяет все термины в АК, да саму АК назовет иначе, например, «Алгебра Пупкина». Кстати, прецедент уже есть – только не всю АК заменили, но АК-объекты по другому названы. Например, D-системы – это «сжатые таблицы D-типа». И об АК ни слова. Персона: А.А. Зуенко, бывший мой соавтор. И на мои (и даже совместные с ним) публикации перестал ссылаться.
Но, предположим, что заменить термины можно. Тогда я бы не согласился с Вами насчет «многозначности» таких терминов, как «атрибут», «домен», «фиктивный атрибут».
Атрибут – одновременно подтверждает сходство с табличным (матрицеподобным) представлением информации в реляционной алгебре и в то же время означает одно из свойств АК-объекта. В таблице это, например атрибуты «Возраст», «Должность» и т.д.
Домен – одновременно связь с реляционной алгеброй и областью изменения переменной в исчислении предикатов (domain).
Фиктивный атрибут – его добавление не меняет семантику отношения, потому и «фиктивный». Служит лишь для большего удобства вычислений. Кстати, это термин я встретил у В.М. Глушкова. Только у него не символ «звездочка», а поэлементное перечисление всего атрибута. Не очень-то удобно…
Что касается термина «компонента», то согласен с Вами – не очень удачный. Мне кажется, было бы лучше использовать для данного случая термин «фрагмент». Или нет?
Спасибо за совет, как построить систему по Гильберту. Подумаю. Только
пока что непонятно, что использовать в качестве «пластов» для АК.
Приложения алгебры кортежей. Часть 2. Математическая модель вопроса