Комментарии 7
Отличная статья! Эталон статьи науки (и по форме слога и по содержанию)!
В книге Куранта и Роббинса говорится о том, что проверить справедливость этих законов можно с помощью «самой элементарной логики».
Ну значит, аксиомы взяты из этой самой "элементарной логики"
Слова «самой элементарной логики» в книге Куранта и Роббинса вовсе не относятся к аксиомам. Почитайте внимательно с. 137 цитируемого издания.
Обведённый кусок никак не доказан и введён волевым усилием для того, чтобы теория множеств могла функционировать - это аксиома лежащая в основе теории множеств.
Вот это аксиомы с указанной Вами страницы 137.
Иногда вырванные из текста отрывки, если не учитывать весь текст, можно истолковать по-разному. В первом отрывке, который Вы привели, речь идет о **математической теории множеств**, хотя раздел назван авторами **Алгебра множеств** и речь дальше идет об алгебре множеств, но не о теории множеств. И дальше, кстати, идут слова, которые показывают, что алгебра множеств и теория множеств - разные сущности. Вот эти слова (с. 135):
«*Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к изучению нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллюстрирует большую общность идей современной математики*». Мне представляется, что **алгебраические методы** можно отнести к аксиоматической теории множеств с большой натяжкой. А вот к алгебре множеств – без сомнения.
Далее во втором отрывке Вы приводите якобы аксиомы, которые сами авторы почему-то аксиомами не называют. Ничего не вижу алогичного в том, чтобы назвать эти «аксиомы» определениями операций.
На стр. 140 Курант и Роббинс показывают, как можно построить алгебру множеств как «дедуктивную теорию» с помощью 3-х равенств (их можно назвать аксиомами). Но этот подход рассматривается ими как один из вариантов построения алгебры множеств. И этот вариант назван ими вполне справедливо Булевой алгеброй.
Далее во втором отрывке Вы приводите якобы аксиомы, которые сами авторы почему-то аксиомами не называют. Ничего не вижу алогичного в том, чтобы назвать эти «аксиомы» определениями операций.
А чем ещё являются постулаты на которых строится теория?
Давайте договоримся быть с терминами поаккуратнее. Ранее Вы говорили об аксиомах, а теперь постулаты появились. Некоторые исследователи не считают их точными синонимами. И давайте уважать авторов, тем более таких всемирно известных, как Курант и Роббинс, и не приписывать им того, чего они не говорили. Описанию операций объединения и пересечения предшествуют в книге следующие слова: «Мы определим теперь две операции над множествами …». Перед описанием операции дополнения (с. 138) имеются следующие слова: «Остается дать определение еще одной операции в алгебре множеств». О каких постулатах тут говорится?
Вы можете быть с ними не согласны – это Ваше право. Но тогда и скажите об этом открыто!
И разве Вы не видите разницу между аксиомой и определением? В аксиоме говорится о закономерности, принимаемой без доказательств. Например, в одной из аксиом геометрии утверждается, что через любые две точки проходит прямая и причем только одна. В аксиоме выбора утверждается существование функции с определенными свойствами. А в определениях операций рассказывается, что надо делать конкретно с определенными ранее сущностями, чтобы получить результат. Есть разница?
И еще одно. Предположим, что Вы правы и определения операций над множествами – это аксиомы. И других аксиом у нас нет. Тогда ответьте мне на следующие вопросы: Какому из многочисленных известных вариантов аксиоматической теории множеств соответствует данный вариант? И можно ли с этим вариантом получить те результаты, о которых сказано в двух моих статьях об основаниях логики? Я имею в виду обоснование законов алгебры множеств (и законов классической логики соответственно) и математическую модель полисиллогистики.
На чем основана логика? Часть 1. Алгебра множеств без аксиом