6 мар в 23:29

Куда можно улететь в расширяющиеся вселенной. На пути к межгалактической навигации

Сложный

АстрономияЗанимательные задачкиНаучно-популярноеФизика

Ожидает приглашения

Межвездные перелеты уже не так несбыточны. Проклятие реактивного движения - необходимость разгонять не только полезный груз, но и топливо - можно снять по крайней мере двумя способами. Во-первых разгонять груз можно лучем лазера, во вторых можно использовать релятивистскую ракету, в которой вся масса топлива превращается в энергию реактивной струи. В последнем случае дело за малым - собрать достаточное количество антиматерии.

Пора задуматься о межгалактических перелетах. Но тут возникает новая напасть- расширение вселенной. Рушится обыденное представление о движении, что с любой скоростью можно долететь куда угодно было бы достаточно времени. В расширяющейся вселенной для каждой скорости есть предельная дальность полета.

Координаты

Вселенная однородная, изотропная и плоская. Поэтому для навигации в ней можно ввести обычную декартову систему координат $x \quad y \quad z$ , и общее для всех точек время t. Расширение же вселенной учитывается зависящим от времени масштабным фактором так, что расстояние между точками имеет вид . При этом координаты разлетающихся галактик постоянны и их собственное время равно координатному. Для движущихся тел интервал собственного времени дается выражением $d\tau^2=dt^2-a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2)$ . Это называется метрикой Робертсона-Уокера. (Здесь скорость света равна 1, то есть расстояния измеряются не в метрах, а в световых секундах.)

Координатное расстояние до дальних галактик однозначно определяет красное смещение $z:z+1=\lambda/\lambda_0=a_0/a(t)$ , где $\lambda$ - покрасневшая длина волны, $\lambda_0$ - исходная, - масштабный фактор в момент наблюдения (t=0), -масштабный фактор в момент излучения света дальней галактикой.

Все дальнейшие вычисления проведем в предположении экспоненциального расширения вселенной: масштабный фактор $a(t)=a_0\exp(Ht)$ . Это неплохое приближения ввиду 70 процентной доли темной энергии. Тогда связь координаты с красным смещением дается выражением $x=\frac 1{a_0H}\frac z{z+1}$ .

Полет

Посмотрим куда можно улететь если стартовать из начала координат в момент t=0 ( а оно может в силу однородности быть в любой точке) с некоторой начальной скоростью v, допустим в направлении x и дальше лететь по инерции

Согласно ОТО уравнение движения по инерции выглядит так :

$\frac{d^2x}{d\tau^2}+\frac 2 a \frac{da}{dt}\frac{dt}{d\tau}\frac{dx}{d\tau}=0$

Начальное условие $\frac {dx}{dt}\big\vert_{t=0}=v_0$ , причем истинная скорость , то есть меньше скорости света, обозначим $\beta=a(t_0)v_0$ .

Это уравнение имеет первый интеграл вида

$\frac {dx}{d\tau}=\frac {const}{a(t)^2}$

то есть скорость падает по мере расширения. Теперь в последнем уравнении переходим от дифференцирования по собственному времени к дифференцированию по координатному, и после некоторых преобразований получаем

$\frac {dx}{dt}=\frac {f} {a(t)^2 }\frac 1 {\sqrt{1+\dfrac {f^2}{a(t)^2}}} \quad \text{где} \quad f^2=\dfrac {a_0^4v_0^2}{(1-a_0^2v_0^2)}=\frac{a_0^2\beta^2}{1-\beta^2}$

это уравнение легко интегрируется после замены $da=\dot a dt=a(t)Hdt$ . Ответ приведем сразу для красного смещения

$z=\frac{\dfrac 1 {\beta}\left(1-\sqrt{1-\dfrac 1 {\beta^2}(1-\exp(-2Ht))}\right)}{1-\dfrac 1 {\beta^2}\left(1-\sqrt{1-\dfrac 1 {\beta}(1-\exp(-2Ht))}\right)}$

Посмотрим теперь на зависимость красного смещения от времени при заданном отношении скорости к скорости света . На рисунке показаны зависимость красного смещения от Ht ( Ht- это отношение времени полета к возрасту Вселенной 1/H ) для $\beta$ = 0.5 и 0.9.

Достижимые за 14 млрд. лет красные смещения

Предельное красное смещение на границе видимой Вселенной z=1400, наибольшие красные смещения у наблюдаемых объектов z=7, самые далекие сверхновые имеют z=1, однако красное смещение для, например, галактики NGC 3621, расположенной в десять раз дальше от нас чем Туманность Андромеды, составляет всего 0.0025. То есть о крае Вселенной и сверхновых можно забыть если не хотим лететь 14 млрд. лет, но за пределами местной группы можно побывать при разумных скоростях за время значительно меньшее чем возраст Вселенной.

Теги:

Хабы: